一、等价无穷小
等价无穷小替换是微积分中的一种技巧,用于简化极限计算,特别是在求导和不定积分的过程中。两个函数在某一点的极限为零,如果它们的比值在该点的极限为1,则这两个函数在该点附近是等价无穷小。以下是一些常见的等价无穷小替换公式,它们在 $x \to 0$ 时成立:- $\sin(x) \sim x$
- $\tan(x) \sim x$
- $\arcsin(x) \sim x$
- $\arctan(x) \sim x$
- $1 - \cos(x) \sim \frac{1}{2}x^2$
- $\ln(1 + x) \sim x$
- $e^x - 1 \sim x$
- $(1 + x)^a - 1 \sim ax$,其中 $a$ 是任意常数
- $\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln(a)}$,其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$
二、积分替换公式
积分替换公式是积分计算中的一种方法,它通过变量替换将复杂的积分转换为更简单的形式。以下是一些常用的积分替换技巧:- 代数替换:
- 当被积函数包含 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 形式的根式时,通常使用三角替换。
- 三角替换:
- 对于 $\sqrt{a^2 - x^2}$,可以令 $x = a\sin(\theta)$。
- 对于 $\sqrt{a^2 + x^2}$,可以令 $x = a\tan(\theta)$。
对于 $\sqrt{x^2 - a^2}$,可以令 $x = a\sec(\theta)$。
- 分部积分:
- 根据积分的乘积法则,$\int u dv = uv - \int v du$。
- 有理函数的积分:
- 对于有理函数(一个多项式除以另一个多项式),可以使用部分分式分解。
- 三角函数的积分:
- 使用三角恒等式来简化被积函数,例如 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$。
- 指数函数和对数函数的积分:
- 对于形式为 $a^x$ 的函数,可以使用自然对数的底 $e$ 来替换,即 $a^x = e^{x\ln(a)}$。
- 凑微分法:
- 通过适当的替换使得被积函数与其导数相关联。
- 换元积分法(代换法):
- 对于复合函数的积分,可以使用 $u$-替换,即设 $u = g(x)$,然后计算 $du = g'(x)dx$。
- 反三角函数的积分:
- 当被积函数形式类似于反三角函数的导数时,可以直接使用反三角函数积分。
- 特定积分的标准形式:
- 有些积分有已知的标准形式,如 $\int \frac{1}{1 + x^2} dx = \arctan(x) + C$。
三、常见的特定积分标准形式
特定积分的标准形式通常指的是一些常见函数的不定积分,它们有通用的积分公式。以下是一些基本的不定积分公式:- 幂函数的积分:
- 指数函数的积分:
- 对数函数的积分:
- 三角函数的积分:
- 反三角函数的积分:
- 双曲函数的积分:
- 逆双曲函数的积分: